7. Ferde lökéshullámok

 

A nyomás-perturbáció terjedése hangsebesség-feletti áramlásoknál:

       hullámterjedés,

       a Mach-kúp mint hullámpalást,

nyomáshullám terjedése M=1-es sebességgel.

Például, egy M>1 sebességű felfutó áramlásba helyezett "tű" hatására gömbhullámok alakulnak ki a tű hegyénél. A táguló gömbhullámokat az áramlás magával sodorja. Az így kialakult gömbhullámok palástja a Mach-kúp.

 

 

sin μ=a/v=1/M ; M-1=sin μ ; ahol μºMach-szög

 

Ha tű helyett végtelen széles vékony éket használunk, akkor gömbhullám helyett hengerszimmetrikus hullámok keletkeznek. Ezek palástja egy sík Mach-hullám.

 

Ha véges vastagságú éket helyezünk az áramlásba, akkor a nyomáshullám erősödik, a terjedési sebessége túllépi a hangsebességet és az eredménye egy gyenge lökéshullám. A lökéshullám ereje függ az ék vastagságától, és nyílásszögétől, β>μ. Stacionárius áramlás esetén ez azt jelenti, hogy az ék segítségével az áramlás irányát, (az effektív áramlási keresztmetszetet) hirtelen megváltoztattuk, az áramlást összenyomtuk.

 

 

7. 1. ÁLLAPOTJELLEMZőK VÁLTOZÁSA FERDE LÖKÉSHULLÁMON KERESZTÜL.

 

 


Sebesség-vektorok:


Fizikai kép az áramlási vonalakkal:


 

 

Adott:

A felfutó áramlás állapotjellemzői v1, p1, T1, (M1, ρ1), és az ék hajlásszöge δ, vagyis az eltérítési szög.

 

Meghatározandó:

a lökéshullám mögötti állapotjellemzők értéke, és a lökéshullám iránya, azaz a β szög.

 

Jelölések:

v1n, v2n a lökéshullámra merőleges (normális irányú) sebességkomponensek, és v1t, v2t a lökéshullámmal párhuzamos (tangenciális irányú) sebességkomponensek.

 

Megjegyzendő:

fizikai okok miatt a  sebességvektor iránya a fal (ék) irányával párhuzamos. Az anyagmegmaradási, energiamegmaradási, és impulzusmegmaradási tételek alkalmazása megegyezik a 4. fejezetben tárgyalt merőleges lökéshullámokéval.

 

A ferde lökéshullámokra merőleges sebességkomponensek, és az általuk meghatározott állapotjellemzők változása azonos egy merőleges lökéshullám által okozott változásokkal.

 

 

Tehát a merőleges lökéshullámnál már megismert v1n és v2n-re vonatkozó összefüggések:

 

 

Ha M1n=v1n/a1=v1n/(γRT1)1/2 adott, akkor a merőleges lökéshullámra levezetett egyenletek itt is alkalmazhatók a lökéshullám mögötti állapotjellemzők meghatározására:

 

 

Az M1n=v1n/a1=M1.sinβ megadásához szükséges a β hullámirányszög ismerete. Az ehhez szükséges trigonometriai összefüggések:

 

 

és:

 

Ez az összefüggés meghatározza a β=β(M1,δ) függvényt, ahol

       β          a ferde lökéshullám iránya

       M1       a felfutó áramlás Mach-száma

       δ          az eltérítési szög.

Adott M1 és δ segítségével a β szög meghatározható.

 

Számítási módszer:

A megadott M1 és δ értékekből β a függvény alapján meghatározható (lásd az előzőoldalt). Mivel M1n=M1.sinβ, a p2/p1, T2/T1, M2n, stb. állapotjellemzők változása a merőleges lökéshullámokra összeállított táblázatok alapján M1n függvényeként kiszámíthatók. A lökéshullám mögötti Mach-szám az M2=M2n/sin(β-δ) képlet segítségével számolható. Több egymást követő lökéshullám esetén a számítási eljárást, a lökéshullámok sorrendjének figyelembevételével megismételjük.

 

Az előző oldalon adott függvény grafikus ábrája:

 

 

Részletesebb ábra a Gruber-Szentmártony könyvben található.

A fenti görbék néhány figyelemre méltó tulajdonsága:

a)    Minden M1 értékhez tartozik egy δmax eltérítési szög. Például M1=2.5 esetén  Nagyobb eltérítési szög, vagy vastagabb ék esetén a lökéshullám leválik az ékről, és egy görbe lökéshullám formájában az ék előtt foglal helyet.

 

 

A lökéshullám helyi iránya, és görbültsége összefügg a lökéshullám erejének változásával a lökéshullám mentén. Legerősebb az ék csúcsánál kialakuló merőleges lökéshullámnál, és átmegy megfelelően nagy távolságban az éktől egy Mach-hullámba, ahol a hullám β irányszöge minimális (Mach-szög).

b)    Ha δ<δmax, akkor az adott eltérítési szöghöz két β lökéshullám-irány tartozik. Az egyik aránylag kis értékű. Ekkor az áramlás közel izentrópikus tulajdonságú. A másik viszont 60...70 foknál nagyobb értékű (közelíti a 90 fokot). Az áramlás tulajdonságai megközelítik az erős lökéshullám tulajdonságait.

 

Hogy melyik állapot következik be, az a lökéshullám mögötti tér nyomásviszonyától függ. Szabad, tehát atmoszférikus, repülés esetén mindig a gyenge lökéshullámnak megfelelő állapot alakul ki.

 

Mesterségesen, szélcsatornában az erős lökéshullámnak megfelelő állapot is előállítható. Ehhez a lökéshullám mögötti nyomást mesterségesen meg kell emelni. A 4. fejezetben a konvergens-divergens csatornánál megadott különféle külső nyomásokkal állítottunk elő lökéshullámokat. A következőkben csak a gyenge lökéshullámok hatásaival foglalkozunk.

 

 

 

7. 2. FERDE LÖKÉSHULLÁM VISSZAVERŐDÉSE.

 

Ha egy ferde lökéshullám sík falnak ütközik, akkor létrejön egy visszavert lökéshullám is. Ennek eredményeként az áramlás a fallal párhuzamossá válik. Mint ismeretes, egy ferde lökéshullám az áramlást mindig a lökéshullám síkja felé téríti el (lásd a fejezet első ábráját).

 

 

A számítás sorrendje:

 

a)         Adott az M1 és a beeső hullám βb irányszöge. Meghatározzuk az ennek megfelelő δb=δ(M1,βb) eltérítési szöget, ami az ábrán az M2 és az M1 vektorok egymáshoz viszonyított irányából látszik. Ez az eltérítési szög az áramlást az alsó fal felé tereli.

b)        M1, δb és βb felhasználásával meghatározzuk M1n, M2n és M2 értékeit, vagy a görbék segítségével közvetlenül M2 értékét.

c)         Végül meghatározzuk a visszavert lökéshullám paramétereit. Ennek egyetlen feltétele az, hogy a hozzá tartozó δv eltérítési szögnek "vissza kell téríteni" az áramlást a fallal párhuzamos irányba. Tehát ½δv½=δb(adott). M2 és δv segítségével meghatározzuk az  M2 irányához mért β2-3 értékét, a lökéshullám szögét. Utoljára kiszámítjuk βv=β2-3-δv értékét.

 

7. 3. HENGERSZIMMETRIKUS FERDE LÖKÉSHULLÁM: LÖKÉSHULLÁM KÚP.

 

Egy kúp által létrehozott kúpos lökéshullám hasonlít egy ék által létrehozott sík lökéshullámhoz. Alapvetően különbözik kúp esetében a lökéshullám mögött az áramlási keresztmetszet. Az áramlás nem kétdimenziós, hanem háromdimenziós. Az áramvonalak nem egyenesek, mint az éknél, hanem görbültek és hengerszimmetrikusak.

 

                                           Sík ék                                                  Kúp

 

A lökéshullám mögötti térben az állapotjellemzők, amíg éknél a teljes térben állandó értékűek, addig kúpnál, ahol az áramlás izentrópikusnak számítható, ott az állapotjellemzők az ω= állandó nyílásszögű kúp-palástokon állandó értékűek. ωmin=a kúpos tárgynak, mint falnak a nyílásszöge. ωmax=a lökéshullám nyílásszöge. A központi kúp (fal) felületén beálló állapotjellemzőknek gyakorlati jelentősége van. Ezeket az állapotjellemzőket "f" index-szel jelöljük a továbbiakban.

 

Kúp esetén a lökéshullám nyílásszöge kisebb (βkúp<βék), mint az azonos eltérítésű szögű ék esetében (ωkúp=δék).

 

Kúpos lökéshullámok esetére táblázatok, görbék állnak rendelkezésre (például NACA Rept. 1135). Ebben a jegyzetben mellékletként a következő görbék adva:

β=β(ω,M1) ; Mf=Mf(ω,M1) ; Cp=(pf-p1)/((1/2).ρ1v12)=(pf-p1)/((1/2).γp1M12)=Cp(ω,M1)

 

7. 4. SÍK, FERDE LÖKÉSHULLÁM POLÁRIS GÖRBÉJE (GRAFIKUS  MEGOLDÁSI MÓDSZER.)

 

A poláris görbe egyenletének levezetése.

 

Megmaradási tételek:

tehát:

 

azaz:

 

egy, a merőleges lökéshullámokra is érvényes, összefüggés.

 

Továbbá, mivel:

 

 

 

A fenti kifejezésekben c* a hangsebességet jelöli (lásd a 3.2. fejezet elején a karakterisztikus sebesség "b)" pontját).

Az impulzusmegmaradási tétel szerint:

 

 

Behelyettesítve:

 

Ez utóbbi és a v1n.v2n értékére levezetett egyenletet kombinálva kapjuk a Prandtl összefüggést:

 

 

Ez az összefüggés merőleges lökéshullámokra is érvényes, amely esetben vtº0.

A sebességvektorokat az úgynevezett hodográf-síkra képezzük le.

 

 

;  v1n=u1sinβ  ;  vt=u1cosβ

 

 

A Prandtl összefüggésbe helyettesítve megkapjuk a poláris görbe egyenletét:

 

 

 

azaz:

 

 

Adottak az u1 és c* értékek. Minden felvett, illetve feltételezett u2 értékhez az előző egyenlet segítségével kiszámítjuk a hozzátartozó v2 értéket. A számított pontok segítségével a poláris görbe megrajzolható a hodográf-síkban:

 

 

Ezt a görbét strofoid görbének nevezik. Minden u1/c* értékhez egy-egy (egymás köré illeszkedő) strofoid görbe tartozik. Az ábrán látható szaggatott vonallal meghúzott kör a hangsebességi határ, ahol M=1. A körön kívüli pontok a hangsebesség-feletti áramlásnak felelnek meg.

 

[A]  pont adja meg az u1/c* értékét, ahol º0, tehát nincs y irányú sebességkomponens.

[B]  pont egy merőleges lökéshullám mögötti sebesség értékét adja meg (azt a u/c* értéket, ahol szintén nincs y irányú sebességkomponens és M<1). A görbe megadja a v2 lökéshullám mögötti sebességvektor végpontjának helyzetét (irányát, és nagyságát) a δ eltérítési szög függvényeként.

       Bármelyik δ szögnél három megoldási lehetőség adódik:

       [1]        megoldás. Fizikailag lehetetlen, mert ½v2½>½v1½

       [2]        megoldás. Egy gyenge lökéshullám jön létre, és M2>1

       [3]        megoldás. Egy erős lökéshullám jön létre, és M2<1

       δ növelésével a [2] és [3] pontok egymáshoz közelednek.

[C]  pontban, a két pont egybeesik, ami jelzi, hogy csak egyetlen megoldás létezik. Az eltérítési szög érintőjévé válik a görbének és maximális értéket ér el (δ=δmax). Ekkor M<1, de kevéssé tér el az M=1 értéktől, illetve megközelíti a hangsebességi határt jelző kört.

 

Az ábrából a megoldáshoz tartozó lökéshullám iránya is meghatározható. Példaként a [2] megoldáshoz tartozó lökéshullám irányát határozzuk meg. Az [A] pontból kiindulva a [2] ponton keresztül egyenest húzunk, majd erre az egyenesre a koordinátarendszer origójából merőlegest bocsátunk. Ez a merőleges egyenes megadja a lökéshullám irányát.

 

Határértékek:

Ha feltételezzük, hogy u1=c*, v2=0, és u2=c*, akkor a görbe egy ponttá a [D] ponttá szűkül össze.

Ha feltételezzük, hogy u1=umax=(2/(γ-1))1/2´ct, és umax/c*=((γ+1)/(γ-1))1/2 akkor a görbe köré alakul át, ahol a kör sugara r=1/(γ2-1)1/2 és középpontjának koordinátái a [ γ/(γ2-1)1/2 , 0 ] pontban találhatók.

 

 

7. 5. IZENTRÓPIKUS KOMPRESSZIÓS HULLÁMOK.

 

Feltételezzük, hogy véges δ eltérítési szögű ék helyett egy végtelen kis dδ eltérítési szögű éket alkalmazunk:

 

 

Mivel:

(v+dv)sin(dδ)=[v-(v+dv)cos(dδ)]/tgβ

és:

sin(dδ) ® dδ ; cos(dδ) ® 1 ,ha dδ ® 0

ezért:

v.dδ=-dv/(tgβ)

 

Mivel perturbáció esetén a hullám egy Mach-hullám:

                

 

Tehát:

 

megadja a sebesség csökkenésének értékét pozitív dδ esetén. Izentrópikus áramlásnál:

 

 

Abban az esetben, ha az áramlás irányának megváltoztatása nem ékkel, ugrásszerűen, hanem folyamatosan, megfelelően formált fal segítségével történik, akkor a véges eltérítés végtelen nagy számú, de végtelen kis dδ eltérítési szög segítségével történik. Ez esetben az előző egyenlet integrálható:

Tehát:

 

Az M2 értéke az egyenletből, az állapotjellemzők (p2/p1, T2/T1, stb.) értékei az izentrópikus táblázatokból határozhatók meg.

 

A sok gyenge lökéshullám összeolvad egy görbe lökéshullámmá.

 

 

Nyilvánvaló:

       izentrópikus folyamatokról csak a fal mellett lehet szó. Ahol a gyenge kompressziós

       hullámok egymást keresztezik, ott egy lökéshullám-front alakul ki és a folyamat

       többé nem számítható izentrópikusként.

 

 

7. P. PÉLDÁK A 7. FEJEZETHEZ

 

7. P. 1.

 

Hangsebesség-feletti légáramlásba éket helyezünk el. Az ék csúcsánál ferde lökéshullám alakul ki. Az ék előtti statikus állapotjellemzők

 

            nyomás p=        20.0    kPa

            hőmérséklet      T=        -10.0    C

            sebesség           M1=       2.0

A lökéshullám az áramláshoz mért irányszöge    40.0    fok

Meghatározandó a lökéshullám mögötti M2 Mach-szám, és az ék δ nyílásszöge.

Megoldás:

Mivel                                        M1n=M1sin40o=            1.286

                                                p2/p1=  1.763

                                                T2/T1=  1.182

és a merőleges lökéshullám táblázatból

                                                M2n=    0.793

Tehát                                        p2=       35.26   kPa

                                                T2=      310.9   K

Mivel Tt2=Tt1 és az izentrópikus táblázatból

                                                (T/Tt)1=            0.5556

Ezért                                        Tt2=Tt1=263/0.5556=   473.4   K

Ha                                            (T/Tt)2=310.9/473.4=   0.6567

akkor                                       M2=     1.617

A δ szöget

a)         vagy kiszámítjuk v2n/v2=M2n/M2=0.793/1.617=0.4904=sin(β-δ) ® β-δ=29.4o ® δ=40-29.4=10.6o

b)        vagy közelítőleg a jegyzetben is megtalálható β=β(M1,δ) görbék a 7.1. fejezetben (a számítási módszer: .....-nél), illetve táblázatok alapján

Ha M1=2 és β=40o, akkor δ>=10.0o

 

 

7. P. 2.

 

Sík kétdimenziós csatorna beáramlási Mach-száma M=3. Az áramlást le kell lassítani:

a)         a beáramlási keresztmetszetnél kialakuló merőleges lökéshullámmal,

b)        összetett ék alkalmazásával, vagyis két ferde és egy merőleges lökéshullám segítségével. Mindkét ék eltérítési szöge 8o.

Meghatározandó mindkét esetben a torlónyomás okozta veszteség.

Megoldás:

a)         A merőleges lökéshullám táblázatból

                                                M1=     3.0    értékénél

                                                pt2/pt1= 0.328

b)         A görbék alapján

                                                M1=3 és δ1=8o ® β1= 25.6o

            és                                 M2=     2.6

                                                M2=2.6 és δ2=8o ® β2=          29.0o

            és                                 M3=     2.255

            Tehát                            M1n=3sin25.6o=           1.3

            és                                 M2n=2.6sin29o=           1.26

   A merőleges lökéshullámú táblázatból

                                                pt2/pt1= 0.979

            és                                 pt3/pt2= 0.986

            Mivel a merőleges lökéshullám előtt

                                                M3=     2.255,

            ezért                             pt4/pt3= 0.603.

            Ebből a végeredmény

            pt4/pt1=             (pt4/pt3).(pt3/pt2).(pt2/pt1)=         0.582

Tehát hangsebesség-feletti áramlások lassítása esetén a torlónyomás veszteség jelentősen

csökkenthető, ha a merőleges lökéshullámok helyett ferde lökéshullámokat alkalmazunk.

 

 

7. P. 3.

 

Sík egyenes fal mellett levegő áramlik visszavert lökéshullámon keresztül.

 

 

Az áramlás Mach-száma           M1=     2.0

A lökéshullám beeső szöge       βb=      40.0o

 

Meghatározandó a visszavert lökéshullám βv irányszöge, M2 és M3.

Megoldás:

Mivel                                        β1=βb=            40.0o

és                                             M1=     2.0  ,

a felső ék eltérítési szöge           δ1=      10.6o .

Ezért                                        M2=     1.62 .

A második lökéshullám az áramlást az eredeti irányba,

tehát                                         δ2=      10.6o-al téríti vissza.

Ezért                                        M3=     1.24.

Az M2 és a visszavert lökéshullám iránya közötti szög

                                                β2=      51.2o.

Tehát                                        βv=51.2-10.6=            40.6o

 

 

7. P. 4.

 

Légáramlatba kúpot helyeztek el. A kúp tengelye párhuzamos a felfutó áramlás irányával.

 

 

Az áramlás

            Mach-száma                 M1=     2.0

            sztatikus nyomása         p1=       20.0     kPa

A kúp nyílásszöge                    ω=       10.0o

Meghatározandó

            a kúpos lökéshullám irányszöge, a Mach-szám

            és a statikus nyomás a kúp felületénél.

Megoldás:

Az M1=2 és ω=10o értékekhez a görbék szerint

                                                β=       31.2o

                                                Mf=      1.85

            és                                 cp=(pf-p1)/((1/2)γp1M12)=        0.104   tartoznak.

Tehát:

pf=(1/2)γp1M12Cp+p1=((1/2)´1.4´4´0.104+1)´20=25.8 kPa

 

7. P. 5.

 

Egy hangsebesség-feletti diffúzor üzemeltetésénél, a kilépő-keresztmetszetnél ferde lökéshullámot észlelnek.

 

 

A kilépő keresztmetszetnél

       Az áramlás Mach-száma                M1=               2.0

       A lökéshullám irányszöge                β=              45.0o

 

Meghatározandó, hány százalékkal kell a torlónyomást, illetve a tartály nyomását megemelni, hogy az áramlás lökéshullám nélkül történjen.

 

Megoldás:

            Ha                                M1=                 2.0

            akkor                           (p/pt)1=            0.128

Tehát lökéshullám-mentes áramlásnál

                                                pt=p1/0.128=pk/0.128=7.81 pk

            Ha                                M1=     2.0

            és                                 β=       45.0o

            akkor                           M1n=2sin45o=  1.41

            tehát                             p2/p1=pk/p1=     2.15.

Ebben az esetben tehát:

pk/pt1=(pk/p1).(p1/pt1)=2.15´0.128=0.276.

A rendelkezésre álló tartálynyomás

pt=pk/0.276=    3.62 pk

Tehát a pt tartálynyomást

(7.81-3.62)/3.62=        116.0 %-kal kell megnövelni.